4.3 The Ergosphere

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Although k is timelike at 1 it need not be timelike everywhere outside the

horizon. For Kerr,

k2 = gtt = 􀀀

􀀀

_ 􀀀 a2 sin2 _

_

_

= 􀀀

_

1 􀀀

2Mr

r2 + a2 cos2 _

_

(4.44)

so k is timelike provided that

r2 + a2 cos2 _ 􀀀 2Mr > 0 (4.45)

For M2 _ a2 this implies that

r > M +

p

M2 􀀀 a2 cos2 _ (4.46)

(or r < M 􀀀 pM2 􀀀 a2 cos2 _, but this is not physically relevant).

The boundary of this region, i.e. the hypersurface

r = M +

p

M2 􀀀 a2 cos2 _ (4.47)

is the ergosphere. The ergosphere intersects the event horizon at _ = 0; _,

but it lies outside the horizon for other values of _. Thus, k can become

spacelike in a region outside the event horizon. This is called the ergoregion.

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_ = _=2

r = M + pM2 􀀀 a2 cos2 _

r = r+

ergoregion

event

horizon

_ = 0

ergosphere

_

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