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1 Gravitational Collapse 6

1.1 The Chandrasekhar Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Neutron Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Schwarzschild Black Hole 11

2.1 Test particles: geodesics and a_ne parameterization . . . . . 11

2.2 Symmetries and Killing Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Spherically-Symmetric Pressure Free Collapse . . . . . . . . . 15

2.3.1 Black Holes and White Holes . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Kruskal-Szekeres Coordinates . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Eternal Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4 Time translation in the Kruskal Manifold . . . . . . . 26

2.3.5 Null Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.6 Killing Horizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.7 Rindler spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.8 Surface Gravity and Hawking Temperature . . . . . . 37

2.3.9 Tolman Law - Unruh Temperature . . . . . . . . . . . 39

2.4 Carter-Penrose Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1 Conformal Compacti_cation . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Asymptopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6 The Event Horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7 Black Holes vs. Naked Singularities . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Charged Black Holes 56

3.1 Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Pressure-Free Collapse to RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3 Cauchy Horizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Isotropic Coordinates for RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.1 Nature of Internal 1 in Extreme RN . . . . . . . . . . 74

3

3.4.2 Multi Black Hole Solutions . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Rotating Black Holes 76

4.1 Uniqueness Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.1 Spacetime Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2 The Kerr Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.1 Angular Velocity of the Horizon . . . . . . . . . . . . 84

4.3 The Ergosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4 The Penrose Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.1 Limits to Energy Extraction . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.2 Super-radiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Energy and Angular Momentum 93

5.1 Covariant Formulation of Charge Integral . . . . . . . . . . . 93

5.2 ADM energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.1 Alternative Formula for ADM Energy . . . . . . . . . 96

5.3 Komar Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.1 Angular Momentum in Axisymmetric Spacetimes . . . 98

5.4 Energy Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Black Hole Mechanics 101

6.1 Geodesic Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1 Expansion and Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2 The Laws of Black Hole Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.1 Zeroth law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.2 Smarr's Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2.3 First Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.4 The Second Law (Hawking's Area Theorem) . . . . . 113

7 Hawking Radiation 119

7.1 Quantization of the Free Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2 Particle Production in Non-Stationary Spacetimes . . . . . . 123

7.3 Hawking Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4 Black Holes and Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4.1 The Information Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A Example Sheets 132

A.1 Example Sheet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.2 Example Sheet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.3 Example Sheet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4

A.4 Example Sheet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

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