Contents

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1 What are finite elements? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Key points of the FE method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 The error of an FE solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 A beautiful idea that does not work. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Principle of virtual displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9 Taut rope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10 Least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.11 Distance inside = distance outside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.12 Scalar product and weak solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.13 Equivalent nodal forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.14 Concentrated forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.15 Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.16 Practical consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.17 Why finite element results are wrong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.18 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.19 Influence functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.20 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.21 Why resultant stresses are more accurate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.22 Why stresses at midpoints are more accurate. . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.23 Why stresses jump. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.24 Why finite element support reactions are relatively accurate . . 99

1.25 Gauss points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.26 The Dirac energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.27 How to predict changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.28 The influence of a single element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1.29 Retrofitting structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

1.30 Local errors and pollution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1.31 Adaptive methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.32 St. Venant’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

1.33 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

1.34 Actio = reactio?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Contents

1.35 The output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1.36 Support conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

1.37 Equilibrium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

1.38 Temperature changes and displacement of supports . . . . . . . . . . 187

1.39 Stability problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

1.40 Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.41 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

1.42 Infinite energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.43 Conforming and nonconforming shape functions . . . . . . . . . . . . . 209

1.44 Partition of unity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

1.45 Generalized finite element methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

1.46 Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

1.47 Stiffness matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

1.48 Coupling degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

1.49 Numerical details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

1.50 Warning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

2 What are boundary elements? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2.1 Influence functions or Betti’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

2.2 Structural analysis with boundary elements . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2.3 Comparison finite elements—boundary elements . . . . . . . . . . . . . 262

3 Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3.2 The FE approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

3.3 Finite elements and the slope deflection method . . . . . . . . . . . . . 289

3.4 Stiffness matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

3.5 Approximations for stiffness matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

3.6 Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

3.7 Hierarchical elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

3.8 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

4 Plane problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.2 Strains and stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

4.3 Shape functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

4.4 Plane elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

4.5 The patch test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

4.6 Volume forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

4.7 Supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

4.8 Nodal stresses and element stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

4.9 Truss and frame models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

4.10 Two-bay wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

4.11 Multistory shear wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

4.12 Shear wall with suspended load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

X

Contents

4.13 Shear wall and horizontal load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

4.14 Equilibrium of resultant forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

4.15 Adaptive mesh refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

4.16 Plane problems in soil mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

4.17 Incompressible material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

4.18 Mixed methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

4.19 Influence functions for mixed formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

4.20 Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

4.21 Nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

5 Slabs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

5.1 Kirchhoff plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

5.2 The displacement model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

5.3 Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

5.4 Hybrid elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

5.5 Singularities of a Kirchhoff plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

5.6 Reissner–Mindlin plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

5.7 Singularities of a Reissner–Mindlin plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

5.8 Reissner–Mindlin elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

5.9 Supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

5.10 Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

5.11 Shear forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

5.12 Variable thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

5.13 Beam models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

5.14 Wheel loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

5.15 Circular slabs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

5.16 T beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

5.17 Foundation slabs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

5.18 Direct design method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

5.19 Point supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

5.20 Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

5.21 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

6 Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

6.1 Shell equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

6.2 Shells of revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

6.3 Volume elements and degenerate shell elements . . . . . . . . . . . . . . 490

6.4 Circular arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

6.5 Flat elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

6.6 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

XI

Contents

7 Theoretical details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

7.1 Scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

7.2 Green’s identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

7.3 Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

7.4 Generalized Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

7.5 Nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

7.6 The derivation of influence functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

7.7 Weak form of influence functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

7.8 Influence functions for other quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

7.9 Shifted Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

7.10 The dual space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

7.11 Some concepts of error analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

7.12 Important equations and inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

XII

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

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