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Preface xiii

Nomenclature xv

1 Displacements, Strain, Stress and Energy 1

1.1 The Reference State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 The Spatial State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 StrainMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Principal Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Objective Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1 Conservation of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.2 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3 Conservation of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.4 Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.5 Entropy inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7.6 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Localization of the Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1 Conservation of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.2 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8.3 Conservation of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.4 Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.5 Entropy inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 The Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10 The Balance Laws inMaterial Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.10.1 Conservation of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10.2 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10.3 Conservation of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.10.4 Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.10.5 Entropy inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.11 The Weak Form of the Balance of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.11.1 Formulation of the boundary conditions (material coordinates) . . . 38

1.11.2 Deriving the weak form from the strong form (material coordinates) 39

1.11.3 Deriving the strong form from the weak form (material coordinates) 41

1.11.4 The weak form in spatial coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.12 TheWeak Form of the Energy Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.13 Constitutive Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

viii CONTENTS

1.13.1 Summary of the balance equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.13.2 Development of the constitutive theory . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.14 ElasticMaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.14.1 General form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.14.2 Linear elastic materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.14.3 Isotropic linear elastic materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.14.4 Linearizing the strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.14.5 Isotropic elastic materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.15 Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Linear Mechanical Applications 63

2.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2 The Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2.1 The 8-node brick element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2.2 The 20-node brick element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.3 The 4-node tetrahedral element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.4 The 10-node tetrahedral element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2.5 The 6-node wedge element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.2.6 The 15-node wedge element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1 Hexahedral elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3.2 Tetrahedral elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.3 Wedge elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.4 Integration over a surface in three-dimensional space . . . . . . . . 81

2.4 Extrapolation of Integration Point Values to the Nodes . . . . . . . . . . . . 82

2.4.1 The 8-node hexahedral element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.4.2 The 20-node hexahedral element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4.3 The tetrahedral elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4.4 The wedge elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.5 Problematic Element Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.5.1 Shear locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5.2 Volumetric locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5.3 Hourglassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.6 Linear Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.6.1 Inclusion in the global system of equations . . . . . . . . . . . . . . 91

2.6.2 Forces induced by linear constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.7 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.8 Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.8.1 Centrifugal loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.8.2 Temperature loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.9 Modal Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.9.1 Frequency calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.9.2 Linear dynamic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.9.3 Buckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.10 Cyclic Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.11 Dynamics: The α-Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CONTENTS ix

2.11.1 Implicit formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.11.2 Extension to nonlinear applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.11.3 Consistency and accuracy of the implicit formulation . . . . . . . . 126

2.11.4 Stability of the implicit scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.11.5 Explicit formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2.11.6 The consistent mass matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

2.11.7 Lumped mass matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.11.8 Spherical shell subject to a suddenly applied uniform pressure . . . 141

3 Geometric Nonlinear Effects 143

3.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2 Application to a Snapping-through Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.3 Solution-dependent Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.3.1 Centrifugal forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.3.2 Traction forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.3.3 Example: a beam subject to hydrostatic pressure . . . . . . . . . . . 154

3.4 Nonlinear Multiple Point Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.5 Rigid BodyMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.5.1 Large rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.5.2 Rigid body formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.5.3 Beam and shell elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.6 Mean Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.7 Kinematic Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.7.1 Points on a straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.7.2 Points in a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.8 Incompressibility Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4 Hyperelastic Materials 177

4.1 Polyconvexity of the Stored-energy Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.1.1 Physical requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.1.2 Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.1.3 Polyconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.1.4 Suitable stored-energy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.2 Isotropic HyperelasticMaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.2.1 Polynomial form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.2.2 Arruda–Boyce form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.2.3 The Ogden form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.2.4 Elastomeric foam behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.3 Nonhomogeneous Shear Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.4 Derivatives of Invariants and Principal Stretches . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.4.1 Derivatives of the invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.4.2 Derivatives of the principal stretches . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.4.3 Expressions for the stress and stiffness for three equal eigenvalues . 206

4.5 Tangent StiffnessMatrix at Zero Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.5.1 Polynomial form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.5.2 Arruda–Boyce form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

x CONTENTS

4.5.3 Ogden form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.5.4 Elastomeric foam behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.5.5 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.6 Inflation of a Balloon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.7 Anisotropic Hyperelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.7.1 Transversely isotropic materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.7.2 Fiber-reinforced material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5 Infinitesimal Strain Plasticity 225

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.2 The General Framework of Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.2.1 Theoretical derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.2.2 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.3 Three-dimensional Single Surface Viscoplasticity . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.3.1 Theoretical derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.3.2 Numerical procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.3.3 Determination of the consistent elastoplastic tangent matrix . . . . . 242

5.4 Three-dimensional Multisurface Viscoplasticity: the Cailletaud Single CrystalModel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

5.4.1 Theoretical considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

5.4.2 Numerical aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5.4.3 Stress update algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.4.4 Determination of the consistent elastoplastic tangent matrix . . . . . 259

5.4.5 Tensile test on an anisotropic material . . . . . . . . . . . . . . . . 260

5.5 Anisotropic Elasticity with a von Mises–type Yield Surface . . . . . . . . . 262

5.5.1 Basic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

5.5.2 Numerical procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.5.3 Special case: isotropic elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6 Finite Strain Elastoplasticity 273

6.1 Multiplicative Decomposition of the Deformation Gradient . . . . . . . . . 273

6.2 Deriving the Flow Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6.2.1 Arguments of the free-energy function and yield condition . . . . . 275

6.2.2 Principle of maximum plastic dissipation . . . . . . . . . . . . . . . 276

6.2.3 Uncoupled volumetric/deviatoric response . . . . . . . . . . . . . . 278

6.3 Isotropic Hyperelasticity with a von Mises–type Yield Surface . . . . . . . 279

6.3.1 Uncoupled isotropic hyperelastic model . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.3.2 Yield surface and derivation of the flow rule . . . . . . . . . . . . . 280

6.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

6.4.1 Kinematic hardening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

6.4.2 Viscoplastic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.5 Summary of the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.6 Stress Update Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.6.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.6.2 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.6.3 Expansion of a thick-walled cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

CONTENTS xi

6.7 Derivation of Consistent Elastoplastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . 294

6.7.1 The volumetric stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.7.2 Trial stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.7.3 Plastic correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

6.8 Isochoric Plastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

6.9 Burst Calculation of a Compressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

7 Heat Transfer 305

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

7.2 The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

7.3 Weak Form of the Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

7.4 Finite Element Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

7.5 Time Discretization and Linearization of the Governing Equation . . . . . . 310

7.6 Forced Fluid Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

7.7 Cavity Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

7.7.1 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

7.7.2 Numerical aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

References 329

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