7.3 PROBLEMS

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1. Sketch the curves

(i) x2 ¡ 8x + 8y + 8 = 0;

(ii) y2 ¡ 12x + 2y + 25 = 0.

2. Sketch the hyperbola

4xy ¡ 3y2 = 8

and ¯nd the equations of the asymptotes.

[Answer: y = 0 and y = 4

3x.]

3. Sketch the ellipse

8x2 ¡ 4xy + 5y2 = 36

and ¯nd the equations of the axes of symmetry.

[Answer: y = 2x and x = ¡2y.]

4. Sketch the conics de¯ned by the following equations. Find the centre

when the conic is an ellipse or hyperbola, asymptotes if an hyperbola,

the vertex and axis of symmetry if a parabola:

(i) 4x2 ¡ 9y2 ¡ 24x ¡ 36y ¡ 36 = 0;

(ii) 5x2 ¡ 4xy + 8y2 + 4p5x ¡ 16p5y + 4 = 0;

(iii) 4x2 + y2 ¡ 4xy ¡ 10y ¡ 19 = 0;

(iv) 77x2 + 78xy ¡ 27y2 + 70x ¡ 30y + 29 = 0.

[Answers: (i) hyperbola, centre (3; ¡2), asymptotes 2x ¡ 3y ¡ 12 =

0; 2x + 3y = 0;

(ii) ellipse, centre (0; p5);

(iii) parabola, vertex (¡7

5 ; ¡9

5 ), axis of symmetry 2x ¡ y + 1 = 0;

(iv) hyperbola, centre (¡ 1

10 ; 7

10 ), asymptotes 7x + 9y + 7 = 0 and

11x ¡ 3y ¡ 1 = 0.]

5. Identify the lines determined by the equations:

(i) 2x2 + y2 + 3xy ¡ 5x ¡ 4y + 3 = 0;

148 CHAPTER 7. IDENTIFYING SECOND DEGREE EQUATIONS

(ii) 9x2 + y2 ¡ 6xy + 6x ¡ 2y + 1 = 0;

(iii) x2 + 4xy + 4y2 ¡ x ¡ 2y ¡ 2 = 0.

[Answers: (i) 2x + y ¡ 3 = 0 and x + y ¡ 1 = 0; (ii) 3x ¡ y + 1 = 0;

(iii) x + 2y + 1 = 0 and x + 2y ¡ 2 = 0.]

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