Contents

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1 Introduction 5

2 Optimisation 7

2.1 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Constrained Optimisation 15

3.1 Lagrangian Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Fields and Forms 23

4.1 Definitions Galore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Integrating 1-forms (vector fields) over curves. . . . . . . . . . 30

4.3 Independence of Parametrisation . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Conservative Fields/Exact Forms . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Closed Loops and Conservatism . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Green’s Theorem 47

5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1 Functions as transformations . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.2 Change of Variables in Integration . . . . . . . . . . . 50

5.1.3 Spin Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Green’s Theorem (Classical Version) . . . . . . . . . . . . . . 55

3

4 CONTENTS

5.3 Spin fields and Differential 2-forms . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.1 The Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3.2 For the Pure Mathematicians. . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.3 Return to the (relatively) mundane. . . . . . . . . . . . 72

5.4 More on Differential Stretching . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 Green’s Theorem Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Stokes’ Theorem (Classical and Modern) 97

6.1 Classical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Modern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 Fourier Theory 123

7.1 Various Kinds of Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.2 Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4 Fiddly Things . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.5 Odd and Even Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.6 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.7 Differentiation and Integration of Fourier Series . . . . . . . . 150

7.8 Functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 Partial Differential Equations 155

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.2 The Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.2.1 Intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.2.2 Saying it in Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.3 Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

CONTENTS 5

8.4 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5 Schr¨odinger’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.6 The Dirichlet Problem for Laplace’s Equation . . . . . . . . . 174

8.7 Laplace on Disks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.8 Solving the Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.9 Solving the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.10 And in Conclusion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6 CONTENTS

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