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1 Fundamentals 9

1.1 A Little History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Why Bother With Complex Numbers and Functions? . . . . . 11

1.3 What are Complex Numbers? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Some Soothing Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Some Classical Jargon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 The Geometry of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Examples of Complex Functions 33

2.1 A Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 The function w = z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 The Square Root: w = z

1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 Digression: Sliders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Squares and Square roots: Summary . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 The function f(z) = 1

z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5

6 CONTENTS

2.6 The Mobius Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.7 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.7.1 Digression: In_nite Series . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.7.2 Back to Real exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.7.3 Back to Complex exp and Complex ln . . . . . . . . . 76

2.8 Other powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.9 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 C - Di_erentiable Functions 89

3.1 Two sorts of Di_erentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.2.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3 Conformal Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Integration 105

4.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2 The Complex Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 Contour Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4 Some Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.5 Some Solid and Useful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Taylor and Laurent Series 131

5.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.2 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

CONTENTS 7

5.3 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.4 Some Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.5 Poles and Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6 Residues 149

6.1 Trigonometric Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.2 In_nite Integrals of rational functions . . . . . . . . . . . . . . 154

6.3 Trigonometric and Polynomial functions . . . . . . . . . . . . 159

6.4 Poles on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5 More Complicated Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.6 The Argument Principle; Rouch_e's Theorem . . . . . . . . . . 168

6.7 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8 CONTENTS

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